El promedio es una medida de tendencia central muy utilizada por las personas con el objetivo de evidenciar un número que represente los datos recolectados mediante una variable cuantitativa, es muy usual realizar el cálculo del promedio sumando los datos de la variable cuantitativa y dividir la suma por el total de sumandos ; por solo mencionar un caso particular se le consulta a 5 padres de familia cuántos hijos tienen y sus respectivas respuestas corresponden a: 1 , 2 , 2 , 3 y 2; al sumar los datos se obtiene 10 y divido por 5 da como resultado 2; entonces el promedio de hijos es de 2.
Ahora pensemos qué significa que el promedio es 2 hijos, en realidad si "fuese" posible regalar o prestar hijos, lo que representa la media aritmética 2 es que si el padre que tiene 3 le regala 1 al que tiene solo 1, todos los padres tendrían 2 hijos y la "nueva" distribución se aprecia así : 2 , 2, 2, 2 y 2.
Ahora considere el grupo de datos reales con el siguiente cambio, sustituir el 3 por el 1:
1, 2 ,2 , 1 y 2
El promedio baja a 1,6 hijos ya que el valor más grande (3) se intercambió por 1 y aunque no sea un valor de la distribución, nos brinda información general de la misma.
Note que 1,6 x 5 = 8, que en este caso da igual a la suma de los 5 datos. Es aquí donde nos percatamos que el promedio de un grupo de datos en cierta medida es el valor esperado, que nos puede ayudar a entender como es la muestra de datos, pero donde hay datos extremos tiende a cambiar drásticamente.
Por otro lado consideremos el siguiente problema: 6 hermanos tienen cantidades de dinero diferentes entre si , la mamá los escucha discutiendo, ya que algunos tienen mayor cantidad de colones que otros y los menores no entienden el por qué de la situación. La mamá decidió que todos debían tener la misma cantidad de dinero y así evitar peleas o conflictos, claro esta valiéndose de la buena voluntad de los hijos mayores. Ayuda a la mamá de los chicos a repartir el dinero de forma equitativa. ¿Indique cuánto dinero tendrá cada uno? Explique qué método o técnica es la más eficiente para realizar la repartición.
400 300 200 600 500 1000
El problema anterior se puede resolver con una repartición de dinero de forma igualitaria, los que más tienen le dan dinero a los que menos tienen, hasta que todos posean la misma cantidad. Podemos repartir utilizando el promedio como punto de referencia, 500 colones; todos los montos que se sobrepasen los 500 deben disminuirse a ese valor, repartiendo el excedente a todos los que estén por debajo del promedio, hasta lograr aumentarse al mismo y así todos los montos quedarían en 500 colones. Por ejemplo la persona que tiene 1 000 colones debería de proporcionarle 100, 200 y 300 colones a los tres hermanos que tienen 400, 300 y 200 respectivamente.
Este caso particular ayuda a entender que el promedio no puede ser menor que todos los datos, ni mayor a todos los datos. Para comprender este valor central vamos analizar el siguiente gráfico de dispersión:
En el gráfico Promedio de dinero, se puede apreciar que las barras rojas detallan los "excedentes" sobre el promedio y las barras verdes los "faltantes" con punto de referencia el promedio; al sumar los datos de color rojo se obtiene 600 y al sumar los datos de color verde se obtiene también 600, por lo tanto cuando efectuamos la suma de los 6 datos y dividimos por el total de datos ( fórmula para calcular el promedio), se obtiene 500 colones; que debe ser el monto que deben tener cada hermano.
El objetivo primordial es aclarar que el promedio de los datos de una variable cuantitativa va más allá de la suma de los datos dividida por el total de datos. Pensemos que es aquel valor que permite magnificar ese reparto equitativo entre los que exceden ese valor equilibrio con los que son menores a él y así cuando deba calcular el promedio de: 1 , 2 y 3, pueda brindar con criterio que es 2, ya que el 3 tiene una unidad de excedente que se la cederá al 1, así todos podrían ser 2.
Ahora desde el punto de vista de utilidad, promediar 3 o 4 datos no tiene sentido, ya que en un grupo poco numeroso el objetivo de utilizar el promedio como el valor esperado de los datos no tiene mucha utilidad, ya que puedo analizarlos a simple vista y darme una idea de como son los datos. Y además concluimos que el promedio, con otras medidas de tendencia central tiende adquirir mayor significado, por ejemplo un promedio con una mediana muy similar sugiere que la distribución tienda a una simetría de los datos.
Escrito por: José Moisés Montero Paniagua
mmonteromate@gmail.com
Excelente